对于定义在R 上的函数f(x) ,可以证明点 A(m,n)是f(x) 图像的一个对称点的充要条件f(m-x)+f(m+x)=2n求函数f(x)=x的三次方+3x平方图像的一个对称点
问题描述：
对于定义在R 上的函数f(x) ,可以证明点 A(m,n)是f(x) 图像的一个对称点的充要条件f(m-x)+f(m+x)=2n
求函数f(x)=x的三次方+3x平方图像的一个对称点
答
因为点A（m，n）是f（x）图象的一个对称点的充要条件是f（m-x）+f（m+x）=2n，x∈R．可设A（m，n）为f（x）的一个对称点则得到f（m-x）+f（m+x）=2n成立即可解出m和n；
设A（m，n）为函数f（x）=x3+3x2图象的一个对称点，则f（m-x）+f（m+x）=2n，对于x∈R恒成立．即（m-x）3+3（m-x）2+（m+x）3+3（m+x）2=2n对于x∈R恒成立，
∴（6m+6）x2+（2m3+6m2-2n）=0由
6m+6=02m3+6m2-2n=0
解得：
m=-1n=2
故函数f（x）图象的一个对称点为（-1，2）．
答
对f(x)求导得
f’(x)=3x²+4x-7
令f’(x)≥0以求f(x)的单调递增区间,得
3x²+4x-7≥0
(3x+7）（x-1）≥0
x≤-7/3或x≥1
同理,令f’(x)≤0以求f(x)的单调递减区间,得-7/3≤x≤1
综上所述,f(x)的单调增区间为x≤-7/3或x≥1,单调减区间为-7/3≤x≤1
所以f(x)在x=-7/3时取得最大值,最大值为f(-7/3)= 419/27,
在x=1时取得最小值,最小值为f(1)= -3