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已知幂函数f（x）=x−12p2+p+32（p∈Z）在（0，+∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p的值，并写出相应的函数（x）．

分类: 作业答案 • 2021-12-20 07:46:14
问题描述：

已知幂函数f（x）=x−

1
2
p2+p+
3
2
（p∈Z）在（0，+∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p的值，并写出相应的函数（x）．

答

∵幂函数f（x）=x−

1
2
p2+p+
3
2
在（0，+∞）上是增函数，
所以-
1
2
p2+p+
3
2
＞0，
解得-1＜p＜3．
又由p∈Z，
所以p=0、1、2．
当p=0时，f（x）=x
3
2
，不是偶函数，不符合题意；
当p=1时，f（x）=x2，是偶函数，符合题意；
当p=2时，f（x）=x
3
2
，不是偶函数，不符合题意．
故p=1，对应的函数为f（x）=x2．
答案解析：根据幂函数的性质，由在（0，+∞）上是增函数可知，指数大于零，再由在其定义域内是偶函数验证求解．
考试点：奇偶性与单调性的综合．
知识点：本题主要考查幂函数的奇偶性和单调性，关键是抓住在第一象限内的图象和性质，相关的第二象限、第三象限可由奇偶性来推之．

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