证明:*且非无穷大量的数列{xn} 必存在收列子列.

问题描述:

证明:*且非无穷大量的数列{xn} 必存在收列子列.

先解决概念问题:数列*的定义:∀G>0,∃N>0,使得|xN|>G,则称数列{xn}是*的~.
显然无穷大量一定是*的,但*不一定是无穷大量,
举个简单的栗子就明白了:{xn}:1,0,2,0,3,0,……:*,但非无穷大.
那么就容易证明啦~:
由于{xn}是非无穷大量,所以∃M>0,使得数列中有无穷多项满足|xn|≤M(或表述为:∃M>0,对∀Nk>0,∃nk>Nk,使得|xnk|≤M)
取数列:
取N1=1,∃n1>1,|xn1|≤M;
取N2=n1,∃n2>n1,|xn2|≤M;
……继续下去,得到有界子列{xnk},|xnk|≤M,k=1,2,3……
由Bolzano-Weierstrass定理,{xnk}必有收敛子列,而子列的子列仍旧是子列,所以{xn}存在收敛子列.