如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,O是AB上一点,以OA为半径的⊙O经过点D. 求证:BC是⊙O切线.

问题描述:

如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,O是AB上一点,以OA为半径的⊙O经过点D.
求证:BC是⊙O切线.

证明:如图,连接OD.设AB与⊙O交于点E.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAC=2∠BAD,
又∵∠EOD=2∠EAD,
∴∠EOD=∠BAC,
∴OD∥AC.
∵∠ACB=90°,
∴∠BDO=90°,即OD⊥BC,
又∵OD是⊙O的半径,
∴BC是⊙O切线.