如题:设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,参考答案中认为,设四棱锥的两组不相邻的截面交线为m,n,直线m,n,确定了一个平面β.作与β平行的平面α,与四棱锥的各个侧面相交,则截得的四边形必为平行四边形.我想知道,怎么证明?
问题描述：
如题:设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,
参考答案中认为,设四棱锥的两组不相邻的截面交线为m,n,直线m,n,确定了一个平面β.作与β平行的平面α,与四棱锥的各个侧面相交,则截得的四边形必为平行四边形.
我想知道,怎么证明?
答
"设四棱锥的两组不相邻的截面交线为m,n,直线m,n,确定了一个平面β."
这个定义有问题吧?!假设一组截面的交线不动,另一组截面的交线完全可能变化!如何能确定一个平面?
正确答案：
由相对侧棱分别确定的两个平面α、β,α、β的交线L为平行四边形的中心点（对角线交点）的轨迹
对于L上(除P外)任一点E必可以在α内找到一直线l1过E点分别交测棱为M、N,使得E是MN的中点；
同样在β内找到一直线l2过E点分别交测棱为P、Q,使得E是PQ的中点
四边形MPNQ就是平行四边形
与MPNQ平行的平面在四棱锥的截面都是相似关系,都是平行四边形