已知函数f（x）=13x3-m+12x2，g（x）=13-mx，m是实数．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极大值，求m的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）为增函数，求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数h（x）=f（x）-g（x）有三个零点，求m的取值范围．
问题描述：
已知函数f（x）=
x3-1 3
x2，g（x）=m+1 2
-mx，m是实数．1 3
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极大值，求m的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）为增函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数h（x）=f（x）-g（x）有三个零点，求m的取值范围．
答
（Ⅰ）f′（x）=x2-（m+1）x，由f（x）在x=1处取到极大值，得f′（1）=1-（m+1）=0，∴m=0，（符合题意）；（Ⅱ）f′（x）=x2-（m+1）x，∵f（x）在区间（2，+∞）为增函数，∴f′x）=x（x-m-1）≥0在区间（2，+∞）...
答案解析：（Ⅰ）先求出函数的导数，由f′（1）=0，解出即可；
（Ⅱ）由f′（x）=x2-（m+1）x，得f′（x）=x（x-m-1）≥0在区间（2，+∞）恒成立，即m≤x-1恒成立，由x＞2，得m≤1，
（Ⅲ）先求出h′（x）=（x-1）（x-m）=0，分别得m=1时，m＜1时的情况，进而求出m的范围．
考试点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
知识点：本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，参数的范围，是一道综合题．