王琳猜想:若一元二次方程x2+bx+c=0的两个根都是整数,则代数式b2-4c的值一定是完全平方数.(1)王琳猜想是______(真或假)命题;(2)写出王琳猜想的逆命题______;(3)王琳猜想的逆命题是真命题还是假命题?若是真命题,请进行证明;若是假命题,请举反例说明.
问题描述:
王琳猜想:若一元二次方程x2+bx+c=0的两个根都是整数,则代数式b2-4c的值一定是完全平方数.
(1)王琳猜想是______(真或假)命题;
(2)写出王琳猜想的逆命题______;
(3)王琳猜想的逆命题是真命题还是假命题?若是真命题,请进行证明;若是假命题,请举反例说明.
答
(1)∵x=
,−b±
b2−4c
2
∴一元二次方程x2+bx+c=0的两个根都是整数,则代数式b2-4c的值一定是完全平方数;
(2)若一元二次方程x2+bx+c=0的两个根都是整数,则代数式b2-4c的值一定是完全平方数的逆命题为:代数式b2-4c的值是完全平方数,则一元二次方程x2+bx+c=0的两个根都是整数;
故答案为真;代数式b2-4c的值是完全平方数,则一元二次方程x2+bx+c=0的两个根都是整数;
(3)王琳猜想的逆命题是假命题.例如:当b=2
,c=2,则b2-4c=8-8=0,b2-4c的值是完全平方数,但方程的两根为-
2
,不是整数,所以代数式b2-4c的值是完全平方数,则一元二次方程x2+bx+c=0的两个根都是整数是假命题.
2
答案解析:(1)根据一元二次方程的求根公式得到一元二次方程x2+bx+c=0的两个根都是整数,则代数式b2-4c的值一定是完全平方数;
(2)交换原命题的题设与结论即可得到逆命题;
(3)利用反例说明逆命题为假命题.
考试点:根的判别式;命题与定理.
知识点:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了命题与定理.