已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N.试说明:PM=PN.

问题描述:

已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N.试说明:PM=PN.

证明:在△ABD和△CBD中,AB=BC(已知),
∠ABD=∠CBD(角平分线的性质),
BD=BD(公共边),
∴△ABD≌△CBD(SAS),
∴∠ADB=∠CDB(全等三角形的对应角相等);
∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴∠PMD=∠PND=90°;
又∵PD=PD(公共边),
∴△PMD≌△PND(AAS),
∴PM=PN(全等三角形的对应边相等).
答案解析:根据角平分线的性质以及已知条件证得△ABD≌△CBD(SAS),然后由全等三角形的对应角相等推知∠ADB=∠CDB;再由垂直的性质和全等三角形的判定定理AAS判定△PMD≌△PND,最后根据全等三角形的对应边相等推知PM=PN.
考试点:角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.
知识点:本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质.由已知证明△ABD≌△CBD是解决的关键.