如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn）是曲线C：y2=3x（y≥0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）．（1）写出a1，a2，a3；（2）求出点An（an，0）（n∈N*）的横坐标an关于n的表达式；并用数学归纳法证明．

答

解（1）a1=2，a2=6，a3=12；（2）依题意，得 xn＝an−1+an2，yn＝3•an−an−12，由此及yn2=3xn得 (3•an−an−12)2＝32(an−1+an)，即（an-an-1）2=2（an-1+an）．由（1）可猜想：an=n（n+1）n∈N*下面用数学归纳法...
答案解析：（1）由题意可知直线A₀P₁为y=

3

x，然后与y²=3x联立可得到P₁的坐标，再由△A₀A₁P₁是正三角形可得到A₁的坐标得到a₁的值，同理可得到a₂、a₃．
（2）先根据题意可得到关系 xn＝

an−1+an

2

，yn＝

3

•

an−an−1

2

，然后根据y_n²=3x_n得（a_n-a_n-1）²=2（a_n-1+a_n），从而可猜想数列通项公式a_n=n（n+1），再由数学归纳法证明即可．
考试点：数列与解析几何的综合；数学归纳法．
知识点：本题主要考查求数列通项公式、数列的单调性问题以及二次函数的恒成立问题，考查综合运用能力．