如图,将一矩形OABC放在直角坐标系中,O为坐标原点.点A在y轴正半轴上.点E是边AB上的一个动点(不与点A、B重合),过点E的反比例函数y=kx(x>0)的图象与边BC交于点F.(1)若△OAE、△OCF的面积分别为S1、S2.且S1+S2=2,求k的值;(2)若OA=2.0C=4.问当点E运动到什么位置时.四边形OAEF的面积最大.其最大值为多少?
如图,将一矩形OABC放在直角坐标系中,O为坐标原点.点A在y轴正半轴上.点E是边AB上的一个动点(不与点A、B重合),过点E的反比例函数y=
(x>0)的图象与边BC交于点F.k x
(1)若△OAE、△OCF的面积分别为S1、S2.且S1+S2=2,求k的值;
(2)若OA=2.0C=4.问当点E运动到什么位置时.四边形OAEF的面积最大.其最大值为多少?
(1)∵点E、F在函数y=
(x>0)的图象上,k x
∴设E(x1,
),F(x2,k x1
),x1>0,x2>0,k x2
∴S1=
•x1•1 2
=k x1
,S2=k 2
•x2•1 2
=k x2
,k 2
∵S1+S2=2,
∴
+k 2
=2,k 2
∴k=2;
(2)∵四边形OABC为矩形,OA=2,OC=4,
设E(
,2),F(4,k 2
),k 4
∴BE=4-
,BF=2-k 2
,k 4
∴S△BEF=
(4−1 2
)(2−k 2
)=k 4
k2-k+4,1 16
∵S△OCF=
×4×1 2
=k 4
,S矩形OABC=2×4=8,k 2
∴S四边形OAEF=S矩形OABC-S△BEF-S△OCF=8−(
k2−k+4)−1 16
=−k 2
k2+1 16
+4,k 2
=-
(k−4)2+5,1 16
∴当k=4时,S四边形OAEF=5,
∴AE=2.
当点E运动到AB的中点时,四边形OAEF的面积最大,最大值是5.
答案解析:(1)设E(x1,
),F(x2,k x1
),x1>0,x2>0,根据三角形的面积公式得到S1=S2=k x2
k,利用S1+S2=2即可求出k;1 2
(2)设E(
,2),F(4,k 2
),利用S四边形OAEF=S矩形OABC-S△BEF-S△OCF=-k 4
(k−4)2+5,根据二次函数的最值问题即可得到当k=4时,四边形OAEF的面积有最大值,S四边形OAEF=5,此时AE=2.1 16
考试点:反比例函数综合题.
知识点:本题考查了反比例函数y=
(x>0)k的几何含义和点在双曲线上,点的横纵坐标满足反比例的解析式.也考查了二次的顶点式及其最值问题.k x