如图,将一矩形OABC放在直角坐标系中,O为坐标原点.点A在y轴正半轴上.点E是边AB上的一个动点(不与点A、B重合),过点E的反比例函数y=kx(x>0)的图象与边BC交于点F.(1)若△OAE、△OCF的面积分别为S1、S2.且S1+S2=2,求k的值;(2)若OA=2.0C=4.问当点E运动到什么位置时.四边形OAEF的面积最大.其最大值为多少?

问题描述:

如图,将一矩形OABC放在直角坐标系中,O为坐标原点.点A在y轴正半轴上.点E是边AB上的一个动点(不与点A、B重合),过点E的反比例函数y=

k
x
(x>0)的图象与边BC交于点F.

(1)若△OAE、△OCF的面积分别为S1、S2.且S1+S2=2,求k的值;
(2)若OA=2.0C=4.问当点E运动到什么位置时.四边形OAEF的面积最大.其最大值为多少?

(1)∵点E、F在函数y=

k
x
(x>0)的图象上,
∴设E(x1
k
x1
),F(x2
k
x2
),x1>0,x2>0,
∴S1=
1
2
x1
k
x1
k
2
,S2=
1
2
x2
k
x2
k
2

∵S1+S2=2,
k
2
+
k
2
=2,
∴k=2;
(2)∵四边形OABC为矩形,OA=2,OC=4,
E(
k
2
,2)
F(4,
k
4
)

∴BE=4-
k
2
,BF=2-
k
4

∴S△BEF=
1
2
(4−
k
2
)(2−
k
4
)=
1
16
k2
-k+4,
∵S△OCF=
1
2
×4×
k
4
k
2
,S矩形OABC=2×4=8,
∴S四边形OAEF=S矩形OABC-S△BEF-S△OCF=8−(
1
16
k2−k+4)−
k
2
=−
1
16
k2+
k
2
+4,
=-
1
16
(k−4)2
+5,
∴当k=4时,S四边形OAEF=5,
∴AE=2.
当点E运动到AB的中点时,四边形OAEF的面积最大,最大值是5.
答案解析:(1)设E(x1
k
x1
),F(x2
k
x2
),x1>0,x2>0,根据三角形的面积公式得到S1=S2=
1
2
k,利用S1+S2=2即可求出k;
(2)设E(
k
2
,2)
F(4,
k
4
)
,利用S四边形OAEF=S矩形OABC-S△BEF-S△OCF=-
1
16
(k−4)2
+5,根据二次函数的最值问题即可得到当k=4时,四边形OAEF的面积有最大值,S四边形OAEF=5,此时AE=2.
考试点:反比例函数综合题.
知识点:本题考查了反比例函数y=
k
x
(x>0)
k的几何含义和点在双曲线上,点的横纵坐标满足反比例的解析式.也考查了二次的顶点式及其最值问题.