如图,P 是△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面ABC.若O和Q分别是△ABC和△PBC的垂心,试证:OQ⊥平面PBC.

问题描述:

如图,P 是△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面ABC.若O和Q分别是△ABC和△PBC的垂心,试证:OQ⊥平面PBC.

证明:∵O是△ABC的垂心,∴BC⊥AE.∵PA⊥平面ABC,根据三垂线定理得BC⊥PE.∴BC⊥平面PAE.∵Q是△PBC的垂心,故Q在PE上,则OQ⊂平面PAE,∴OQ⊥BC.∵PA⊥平面ABC,BF⊂平面ABC,∴BF⊥PA,又∵O是△ABC的垂心,...
答案解析:根据三垂线定理得BC⊥PE,则BC⊥平面PAE,根据线面垂直的性质可知BF⊥平面PAC,因而FM是BM在平面PAC内的射影,据三垂线定理的逆定理可得FM⊥PC,从而PC⊥平面BFM.根据线面垂直的性质可知OQ⊥PC,OQ⊥BC,满足线面垂直的判定定理.
考试点:直线与平面垂直的判定.
知识点:本题考查直线与平面垂直的判定,以及三垂线定理与逆定理的运用,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题.