(2011•东莞)如图(1),△ABC与△EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=AC=EF=9,∠BAC=∠DEF=90°,固定△ABC,将△DEF绕点A顺时针旋转,当DF边与AB边重合时,旋转中止.现不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE,DF(或它们的延长线)分别交BC(或它们的延长线)所在的直线于G,H点,如图(2)(1)问:始终与△AGC相似的三角形有△HAB△HAB及△HGA△HGA;(2)设CG=x,BH=y,求y关于x的函数关系式(只要求根据图(2)的情形说明理由);(3)问:当x为何值时,△AGH是等腰三角形.
问题描述:
(2011•东莞)如图(1),△ABC与△EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=AC=EF=9,∠BAC=∠DEF=90°,固定△ABC,将△DEF绕点A顺时针旋转,当DF边与AB边重合时,旋转中止.现不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE,DF(或它们的延长线)分别交BC(或它们的延长线)所在的直线于G,H点,如图(2)
(1)问:始终与△AGC相似的三角形有△HAB△HAB及△HGA△HGA;
(2)设CG=x,BH=y,求y关于x的函数关系式(只要求根据图(2)的情形说明理由);
(3)问:当x为何值时,△AGH是等腰三角形.
答
(1)∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,∵∠H+∠HAC=45°,∠HAC+∠CAG=45°,∴∠H=∠CAG,∵∠ACG=∠B=45°,∴△AGC∽△HAB,∴同理可得出:始终与△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA;故答案为:△HAB...
答案解析:(1)根据△ABC与△EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,利用相似三角形的判定定理即可得出结论.
(2)由△AGC∽△HAB,利用其对应边成比例列出关于x、y的关系式:9:y=x:9即可.
(3)此题要采用分类讨论的思想,当CG<
BC时,当CG=1 2
BC时,当CG>1 2
BC时分别得出即可.1 2
考试点:相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;等腰直角三角形;旋转的性质.
知识点:此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,等腰直角三角形的性质,旋转的性质等知识点的理解和掌握,综合性较强,难易程度适中,是一道很典型的题目.