一个幂指函数,猜想其为减函数,但导数法行不,不知其他方法给定如下幂指函数F(x)={[4x^2+(4m+4n-1)x-(5m+2n-1)] / [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)]} ^(m/x)其中m,n均为任意正整数常量,x>2,求证F(x)的最大值小于1+[m/(n+1)]我已在Excel里试了多组m,n,发现F为减函数,但用导数会有很大计算量,末了还得解一个含ln的超越方程,实在没辙了!下星期就要搞定它,有人能帮忙证了此题一定重谢!请教“孤独安河”,你用到了一个命题,即“若f(x)为正值函数,则函数 F(x)=[1+f(x)]^(1/x) 单调递减”,请问如何证明?这个命题可能几乎正确,但当f(x)=x^x时就为假了,此题的情形不是极端情形,那么它是否属于命题正确的范畴?注意：此题难度在于F不是初等复合函数,所以“同增异减”的规则没法应用,一般来讲只能求导解决,但此题用求导明显很笨了.Lunch 1964的思路不错,你那一步用到了伯努利不等式,但它的适用范围是当指数m/x

∵Z=[4x^2+(4m+4n-1)x-(5m+2n-1)] / [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)]=1+(4x^2-2x)/ [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)]＞1
∴F(x)={[4x^2+(4m+4n-1)x-(5m+2n-1)] / [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)]} ^(m/x)＜1+(m/x)×
(4x^2-2x)/ [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)]=1+(4mx-2m)/ [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)
又∵A=(4mx-2m)/ [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)是减函数(可用导数证)
∴F(x)＜1+(4m×2-2m)/ [(4m+4n+1)×2-(5m+2n-1)=1+6m/(3m+6n+3)＜1+[m/(n+1)]
不好意思,这部分F(x)={[4x^2+(4m+4n-1)x-(5m+2n-1)] / [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)]} ^(m/x)＜1+(m/x)×(4x^2-2x)/ [(4m+4n+1)x-(5m+2n-1)]不太会,是不是应该用导数证?
根据楼主的提示,证{1+[2/(m+2n+1)]}^m 设:y={1+[2/(m+2n+1)]}^m ,y'=m{1+[2/(m+2n+1)]}^(m-1)×(-2)+{1+[2/(m+2n+1)]}^m×ln{1+[2/(m+2n+1)]}={1+[2/(m+2n+1)]}^(m-1)×【{1+[2/(m+2n+1]}ln{1+[2/(m+2n+1)]}-2m】
当m、n∈N+时,y‘＜0,y为减函数,当m=1时,y最大
∴y≤1+2/（1+2n+1）=1+[1/(n+1)]＜1+[m/(n+1)]