求x*(dy/dx)=lnx-y的通解
问题描述：
求x*(dy/dx)=lnx-y的通解
答
设 x=e^t，则
lnx=t，dx=(e^t)dt
原方程变为
(e^t)dy/[(e^t)dt]=t-y
即 dy/dt+y=t
上面的方程对应的齐次方程 dy/dt+y=0 的解为 y(1)=C[e^(-t)]
设 dy/dt+y=t 的特解为 y(2)=at+b
代入解得 y(2)=t-1
所以 原方程的解为
y=C[e^(-t)]+t-1
代入t=lnx，即
y=C/x+lnx-1
答
x*(dy/dx)=lnx-y
y'+1/x*y=(lnx)/x
y' + p(x)•y = q(x)的通解为：
y = [e^-∫ p(x) dx] • [∫ q(x)•[e^∫ p(x) dx] dx + C]
本题
p(x)=1/x
q(x)=lnx/x
∫ p(x) dx=lnx
∫ q(x)•[e^∫ p(x) dx] dx
=∫lnx/x*e^(lnx)dx
=∫lnxdx
=xlnx-∫x*1/xdx
=xlnx-x
故
y = [e^-∫ p(x) dx] • [∫ q(x)•[e^∫ p(x) dx] dx + C]
=e^(-lnx)• (xlnx-x+ C)
=lnx-1+C/x