求极限x→0 lim(1/x-1/(e^x-1)),无穷大－无穷大形式的.
问题描述：
求极限x→0 lim(1/x-1/(e^x-1)),无穷大－无穷大形式的.
答
lim(1/x-1/(e^x-1)) = lim(e^x-x-1)/x(e^x-1) = lim(e^x-1)/(e^x-1+xe^x) = lime^x/(e^x+e^x+xe^)
=1/(1+1+0)=1/2
答
首先，通分将极限化为x→0 lim(e^x-1-x)/x(e^x-1)，
然后应用罗必达法则，
因为x→0 lim x/(e^x-1)=1，
又x→0 lim (e^x-1-x)/x^2=1/2，
将两极限相乘，即得x→0 lim(1/x-1/(e^x-1))=1/2。
答
求极限x→0 lim[1/x-1/(e^x-1)]
x→0 lim[1/x-1/(e^x-1)] (∞-∞型）
=x→0 lim(e^x-1-x)/[x(e^x-1)] (0/0型,用罗比塔法则）
=x→0 lim[(e^x-1)/(e^x-1+xe^x) (0/0型,继续用罗比塔法则）
=x→0 lim[e^x/e^x+e^x+xe^x)]=1/2.