已知函数f(x)＝1x−2．（1）求f（x）的定义域和值域；（2）证明函数f(x)＝1x−2在（0，+∞）上是减函数．
问题描述：
已知函数f(x)＝
−2．1 x
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）证明函数f(x)＝
−2在（0，+∞）上是减函数． 1 x
答
知识点：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，函数的定义域及其求法，函数的值域，其中熟练掌握基本初等函数的定义域，值域，及函数单调性的证明方法是解答本题的关键．
（1）要使函数f(x)＝
−2的解析式有意义1 x
自变量应满足x≠0
故f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
由于
≠0，则1 x
-2≠-21 x
故f（x）的值域为（-∞，-2）∪（-2，+∞）
（2）任取区间（0，+∞）上两个任意的实数x1，x2，且x1＜x2，
则x1＞0，x2＞0，x2-x1＞0，
则f（x1）-f（x2）=（
−2）-（1 x1
−2）=1 x2
-1 x1
=1 x2
＞0
x2−x1
x1•x2
即f（x1）＞f（x2）
故函数f(x)＝
−2在（0，+∞）上是减函数1 x
答案解析：（1）根据使函数的解析式有意义的原则，我们易求出函数的解析式，根据反比例函数的性质，我们易求出函数的值域；
（2）任取区间（0，+∞）上两个任意的实数x1，x2，且x1＜x2，我们作差f（x1）-f（x2），并判断其符号，进而根据函数单调性的定义，可得到结论．
考试点：函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法；函数的值域．
知识点：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，函数的定义域及其求法，函数的值域，其中熟练掌握基本初等函数的定义域，值域，及函数单调性的证明方法是解答本题的关键．