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已知动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1个单位长度．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A、B和M、N，设线段AB、MN的中点分别为P、Q，求证：直线PQ恒过一个定点．

分类: 作业答案 • 2021-12-20 05:12:18
问题描述：

已知动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1个单位长度．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A、B和M、N，设线段AB、MN的中点分别为P、Q，求证：直线PQ恒过一个定点．

答

（1） 设动点M的坐标为（x，y），由题意，∵动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1个单位长度∴(x-1)2+y2=|x|+1化简得y2=4x或y=0（x≤0），所以点M的轨迹C的方程为y2=4x或y=0（x≤0）．（2）证明：设A，B两点...
答案解析：（1）设动点M的坐标为（x，y），根据动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1个单位长度，建立方程，化简可得点M的轨迹C的方程；
（2）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P的坐标为（

x1+x2
2
，
y1+y2
2
 ），可设直线l1的方程为y=k（x-1）（k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理可求点P的坐标为（1+
2
k2
，
2
k
），同理可得点的坐标为（1+2k2，-2k），进而可确定直线PQ的方程，即可得到结论．
考试点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的定义．
知识点：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，具有一定的难度，解题的关键是直线与抛物线的联立，确定直线PQ的方程．

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