已知集合U={1,2,…,n},n∈N*.设集合A同时满足下列三个条件:①A⊆U;②若x∈A,则2x∉A;③若x∈∁UA,则2x∉∁UA.   (1)当n=4时,一个满足条件的集合A是______.(写出一个即可)(2)当n=7时,满足条件的集合A的个数为______.

问题描述:

已知集合U={1,2,…,n},n∈N*.设集合A同时满足下列三个条件:
①A⊆U;
②若x∈A,则2x∉A;
③若x∈∁UA,则2x∉∁UA.   
(1)当n=4时,一个满足条件的集合A是______.(写出一个即可)
(2)当n=7时,满足条件的集合A的个数为______.

(1)n=4时,集合U={1,2,3,4},由①A⊆U;②若x∈A,则2x∉A;③若x∈CUA,则2x∉CUA.当1∈A,则2∉A,即2∈CUA,则4∉CUA,即4∈A,但元素3与集合A的关系不确定故A={1,4},或A={1,3,4}当2∈A,则4∉A,1∉A...
答案解析:(1)n=4时,集合U={1,2,3,4},1,4必须同属于A,此时2属于A的补集;或1,4必须同属于A的补集,此时2属于A;而对元素3与集合A的关系没有限制,此时满足条件的集合有22=4个,列举可得答案.
(2)n=7时,集合U={1,2,3,4,5,6,7},1,4必须同属于A,此时2属于A的补集;或1,4必须同属于A的补集,此时2属于A;3属于A时,6属于A的补集;3属于A的补集时,6属于A;而元素5,7没有限制.此时满足条件的集合有24=16个.
考试点:集合的包含关系判断及应用.
知识点:本题考查的知识点是元素与集合关系,其中根据集合A满足的三个条件,分析U中各个元素与集合A的关系是解答的关键.