一道有关极限的高中数学题二次函数y=n(n+1)x^2-(2n+1)x+1,n属于N*,求这些二次函数的图像在x轴上截得的线段的长度总合
问题描述：
一道有关极限的高中数学题
二次函数y=n(n+1)x^2-(2n+1)x+1,n属于N*,求这些二次函数的图像在x轴上截得的线段的长度总合
答
y=n(n+1)x^2-(2n+1)x+1
令y=0
n(n+1)x^2-(2n+1)x+1=0
(nx-1)[(n+1)x-1]=0
x1=1/n
x2=1/(n+1)
因为n属于N*,
所以在x轴上截得的线段l1=1/n-1/(n+1)
因为n属于N*,代入求和
l总=1/1-1/2+1/2-1/3+....1/n-1/(n+1)
l总=1-1/(n+1)
当n->无穷大时，1/(n+1)->0
所以l总=1
在x轴上截得的线段的长度总合为1
答
很简单,二次函数在x轴上截得的长度可由韦达定理求出：相当与方程：
n(n+1)x^2-(2n+1)x+1=0,的两根之差的绝对值：|x2-x1|=根号下[(x2+x1)^2-4x1x2]=1/[n(n+1)]
要求的极限就是：
lim{1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[n(n+1)]},当n趋向于无穷大的极限,而这个可以裂项求和：
上式=lim{1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)}=lim[1-1/(n+1)],当n无穷大时,这个极限就是1