设f(x)在x=0处存在二阶导数,且lim(x→0)(xf(x)-ln(1+x))/x^3=1/3求f(0),f'(0),f"(0)
问题描述：
设f(x)在x=0处存在二阶导数,且lim(x→0)(xf(x)-ln(1+x))/x^3=1/3求f(0),f'(0),f"(0)
答
用洛必达法则做了一下,比较麻烦,还是泰勒公式简单一些
ln(1+x)=x-(1/2)x²+(1/3)x³+o(x³)
f(x)=f(0)+f '(0)x+(1/2!)f ''(0)x²+o(x²)
则：xf(x)=f(0)x+f '(0)x²+(1/2!)f ''(0)x³+o(x³)
分子为：
xf(x)-ln(1+x)
=[f(0)-1]x+[f '(0)+(1/2)]x²+[(1/2)f ''(0)-(1/3)]x³+o(x³)
分母为：x³
最终结果为1/3
因此分子没有一次项：f(0)=1
分子没有二次项：f '(0)=-1/2
分子三次项系数为1/3：(1/2)f ''(0)-(1/3)=1/3,则f ''(0)=4/3