练习:请帮忙分析以下解题中我的疑惑,方程lg2X/lg(x+a)=2,问a为何值时,方程有一解?整理:lg2x=2lg(x+a)2x=(x+a)^2得:x^2+2(a-1)x+a^2=0且2x>0,x+a>0,对于以上一元二次方程,△=4[(a-1)^2]-4(a^2)=-8a+4,分三种情况:①当△>0时,-8a+4>0,a<1/2此时,方程有两解,x={2-2a±[根号(4-8a)}/2=1-a±[根号(1-2a)]此时x=(1-a)+[根号(1-2a)]>0显然成立(正数加正数);对于x=(1-a)-[根号(1-2a)],由于(1-a)^2-(1-2a)=1-2a+a^2-1+2a=a^2>0,所以,x=1-a-[根号(1-2a)]>0也成立.但是,由于要求x+a>0,所以,当a<1/2且x+a>0时,原方程有两解.②当△=0,a=1/2此时,方程为x^2-x+1/4=0,解得唯一解x=1/2但是代入原方程可知此时分母为0,无意义所以x=1/2不合题意,舍去,所以,a=1/2时原方程无解.③

问题描述:

练习:请帮忙分析以下解题中我的疑惑,方程lg2X/lg(x+a)=2,问a为何值时,方程有一解?
整理:
lg2x=2lg(x+a)
2x=(x+a)^2
得:
x^2+2(a-1)x+a^2=0
且2x>0,x+a>0,
对于以上一元二次方程,△=4[(a-1)^2]-4(a^2)=-8a+4,
分三种情况:
①当△>0时,-8a+4>0,a<1/2
此时,方程有两解,
x={2-2a±[根号(4-8a)}/2=1-a±[根号(1-2a)]
此时x=(1-a)+[根号(1-2a)]>0显然成立(正数加正数);
对于x=(1-a)-[根号(1-2a)],由于(1-a)^2-(1-2a)=1-2a+a^2-1+2a=a^2>0,所以,x=1-a-[根号(1-2a)]>0也成立.
但是,由于要求x+a>0,
所以,当a<1/2且x+a>0时,原方程有两解.
②当△=0,a=1/2
此时,方程为x^2-x+1/4=0,解得唯一解x=1/2
但是代入原方程可知此时分母为0,无意义
所以x=1/2不合题意,舍去,所以,a=1/2时原方程无解.
③当△<0,a>1/2时,原方程无解.
综上,
(1)当a<1/2时,方程有两解;
(2)不存在a使方程有一解;
(3)当a≥1/2时,方程无解
我的疑惑是:1,“对于x=(1-a)-[根号(1-2a)],由于(1-a)^2-(1-2a)=1-2a+a^2-1+2a=a^2>0”由这个是怎么得到1-a-√(1-2a)>0的?
2,“当a<1/2且x+a>0时,原方程有两解.”为什么呢?由2x>0可得x>0;x+a>0得x>-a,为什么不求-X的最大值再结合a0和2x>0,即x>0和x>-a,是不是还应该求-X的最大值,然后来求a的范围?即便求不出,是不是也应满足a>-x呢?为啥只是a>2呢

第一个问题:(1-a)^2-(1-2a)=1-2a+a^2-1+2a=a^2>0”由这个是怎么得到1-a-√(1-2a)>0的?
要证明1-a-√(1-2a)>0 即需要证明:1-a >√(1-2a),对左右两边平方:(1-a)^2>(1-2a),即需证明:(1-a)^2-(1-2a)>0,即:(1-a)^2-(1-2a)=1-2a+a^2-1+2a=a^2>0,故1-a-√(1-2a)>0;
第二个问题:开始和你的想法一样,问什么不继续下去求a的范围呢,其实再细想想,是没必要了
有两个原因:1.,你是求a的取值范围,a是一个定值,X是随a变化的,x+a>0和2x>0 是对X的限定条件,而不是对a的限定条件
2.请问你如何去求X的最大值呢?他不是一个函数,是一个方程,a的值
本来就不定,就算你想用含a的代数式表示X的函数,但是,怎样就算最
大值呢,是无法求最大值的
第三个问题:其实和第二个一样,你是求a的取值范围,a是一个定值,X是随a变化的,x+a>0和2x>0 是对X的限定条件,而不是对a的限定条件