已知三个实数a、b、c满足a+b+c=0,abc=1,求证:a、b、c中至少有一个大于32•

问题描述:

已知三个实数a、b、c满足a+b+c=0,abc=1,求证:a、b、c中至少有一个大于

3
2

证明:∵a+b+c=0,
∴a、b、c必有一个正数,
不妨设c>0,a+b=-c,ab=

1
c

这样a、b可看作方程x2+cx+
1
c
=0的两实根.
△=c2-4×
1
c
≥0,即c3≥4>
27
8
,∴c>
3
27
8
=
3
2

所以a、b、c中至少有一个大于
3
2

答案解析:由a+b+c=0,得到三个实数a、b、c中必有一个正数;不妨设c>0,这样用c表示a+b和ab,然后写出以a,b为根的一元二次方程,由△≥0得到c的范围,最后经过数的变换,确定c大于
3
2

考试点:根的判别式.
知识点:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.同时考查了根与系数的关系.