通过计算可得下列等式：22-12=2×1+1，32-22=2×2+1，42-32=2×3+1，┅┅，（n+1）2-n2=2×n+1将以上各式分别相加得：（n+1）2-12=2×（1+2+3+…+n）+n，即：1+2+3+…+n＝n(n+1)2类比上述求法：请你求出12+22+32+…+n2的值（要求必须有运算推理过程）．

答

2³-1³=3×1²+3×1+1，
3³-2³=3×2²+3×2+1，
4³-3³=3×3²+3×3+1
┅┅
（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1---（6分）
将以上各式分别相加得：
（n+1）³-1³=3×（1²+2²+3²+…+n²）+3×（1+2+3…+n）+n
所以：12+22+32+…+n2＝

1

3

[(n+1)3−1−n−3

1+n

2

n]=

1

6

n(n+1)(2n+1)---------（12分）
答案解析：先在立方公式中，取b=1，那么（a+1）³-a³=3a²+3a+1，再让a=1，2，3，…，n-1，n得2³-1=3×1²+3×1+1，3³-2³=3×2²+3×2+1，4³-3³=3×3²+3×3+1，…，（n+1）³-n³=3×n²+3n+1，再把这些式子相加可得（n+1）³-1=3（1²+2²+3²+…+n²）+3（1+2+3+…+n）+n，从而可证1²+2²+3²+…+n²=

(n+1)3−1−3(1+2+3+…+n)−n

3

=

n(n+1)(2n+1)

6

．
考试点：类比推理．
知识点：本题考查了类比推理、立方公式．在证明过程中可仿照平方公式的证明方法，注意先对立方公式进行变形．