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已知f（x）=logax（a＞0且a≠1），如果对任意的x∈[13，2]，都有|f（x）|≤1成立，试求a的取值范围．

分类: 作业答案 • 2021-12-20 04:27:57

问题描述：

已知f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），如果对任意的x∈[

1

3

，2]，都有|f（x）|≤1成立，试求a的取值范围．

答

依题意，当0＜a＜1时，f（x）=log_ax在[

1

3

，2]上单调递减，
又loga

1

3

＞0，log_a2＜0，|f（x）|≤1，
∴

loga

1

3

≤1

−loga2≤1

，解得0＜a≤

1

3

；
当a＞1时，同理可得

−loga

1

3

≤1

loga2≤1

，解得a≥3．
综上所述，a的取值范围为（0，

1

3

]∪[3，+∞）．
答案解析：当0＜a＜1时，f（x）=log_ax在[

1

3

，2]上单调递减；当a＞1时，f（x）=log_ax在[

1

3

，2]上单调递增；结合题意|f（x）|≤1即可求得a的取值范围．
考试点：绝对值不等式的解法．

知识点：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想，突出对数函数单调性的考查应用，属于中档题．