数学课外小知识

数学知识
《几何原本》
几
何
原
本
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,是当时整个希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶,其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响.自它问世之日起,在长达二千多年的时间里一直盛行不衰.它历经多次翻译和修订,自1482年第一个印刷本出版后,至今已有一千多种不同的版本.除了《圣经》之外,没有任何其他著作,其研究、使用和传播之广泛,能够与《几何原本》相比.但《几何原本》超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响,却是《圣经》所无法比拟的.
公元前7世纪之后,希腊几何学迅猛地发展,积累了丰富的材料.希腊学者们开始对当时的数学知识作有计划的整理,并试图将其组成一个严密的知识系统.首先做出这方面尝试的是公元前5世纪的希波克拉底（Hippocrates）,其后经过了众多数学家的修改和补充.到了公元前4世纪时,希腊学者们已经为建构数学的理论大厦打下了坚实的基础.
欧几里得在前人工作的基础之上,对希腊丰富的数学成果进行了收集、整理,用命题的形式重新表述,对一些结论作了严格的证明.他最大的贡献就是选择了一系列具有重大意义的、最原始的定义和公理,并将它们严格地按逻辑的顺序进行排列,然后在此基础上进行演绎和证明,形成了具有公理化结构的,具有严密逻辑体系的《几何原本》.
《几何原本》的希腊原始抄本已经流失了,它的所有现代版本都是以希腊评注家泰奥恩（Theon,约比欧几里得晚七百年）编写的修订本为依据的.《几何原本》的泰奥恩修订本分13卷,总共有465个命题,其内容是阐述平面几何、立体几何及算术理论的系统化知识.
第一卷首先给出了一些必要的基本定义、解释、公设和公理,还包括一些关于全等形、平行线和直线形的熟知的定理.该卷的最后两个命题是毕达哥拉斯定理及其逆定理.这里我们想到了关于英国哲学家T．霍布斯的一个小故事：有一天,霍布斯在偶然翻阅欧几里得的《几何原本》,看到毕达哥拉斯定理,感到十分惊讶,他说：“上帝啊!这是不可能的.”他由后向前仔细阅读第一章的每个命题的证明,直到公理和公设,他终于完全信服了. 第二卷篇幅不大,主要讨论毕达哥拉斯学派的几何代数学.
第三卷包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理.这些定理大多都能在现在的中学数学课本中找到.第四卷则讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题.
第五卷对欧多克斯的比例理论作了精彩的解释,被认为是最重要的数学杰作之一.据说,捷克斯洛伐克的一位并不出名的数学家和牧师波尔查诺（Bolzano,1781－1848）,在布拉格度假时,恰好生病,为了分散注意力,他拿起《几何原本》阅读了第五卷的内容.他说,这种高明的方法使他兴奋无比,以致于从病痛中完全解脱出来.此后,每当他朋友生病时,他总是把这作为一剂灵丹妙药问病人推荐.
第七、八、九卷讨论的是初等数论,给出了求两个或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法”,讨论了比例、几何级数,还给出了许多关于数论的重要定理.
第十卷讨论无理量,即不可公度的线段,是很难读懂的一卷.最后三卷,即第十一、十二和十三卷,论述立体几何.目前中学几何课本中的内容,绝大多数都可以在《几何原本》中找到.
《几何原本》按照公理化结构,运用了亚里士多德的逻辑方法,建立了第一个完整的关于几何学的演绎知识体系.所谓公理化结构就是：选取少量的原始概念和不需证明的命题,作为定义、公设和公理,使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据,然后运用逻辑推理证明其他命题.《几何原本》成为了两千多年来运用公理化方法的一个绝好典范.
诚然,正如一些现代数学家所指出的那样,《几何原本》存在着一些结构上的缺陷,但这丝毫无损于这部著作的崇高价值.它的影响之深远．使得“欧几里得”与“几何学”几乎成了同义语.它集中体现了希腊数学所奠定的数学思想、数学精神,是人类文化遗产中的一块瑰宝.
哥德巴赫猜想
哥
德
巴
赫
猜
想
1742年德国人哥德巴赫给当时住在俄国彼得堡的大数学家欧拉写了一封信,在信中提出两个问题：第一,是否每个大于4的偶数都能表示为两个奇质数之和?如6=3+3,14=3+11等.第二,是否每个大于7的奇数都能表示3个奇质数之和?如9=3+3+3,15=3+5+7等.这就是著名的哥德巴赫猜想.它是数论中的一个著名问题,常被称为数学皇冠上的明珠.
实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法,因为每个大于 7的奇数显然可以表示为一个大于4的偶数与3的和.1937年,苏联数学家维诺格拉多夫利用他独创的“三角和”方法证明了每个充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和,基本上解决了第二个问题.但是第一个问题至今仍未解决.由于问题实在太困难了,数学家们开始研究较弱的命题：每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为m、n的两个自然数之和,简记为“m+n”.1920年挪威数学家布龙证明了“9+9”；以后的20几年里,数学家们又陆续证明了“7+7”,“6+6”,“5+5”,“4+4”,“1+c”,其中c是常数.1956年中国数学家王元证明了“3+4”,随后又证明了“3+3”,“2+3”.60年代前半期,中外数学家将命题推进到“1+3”.1966年中国数学家陈景润证明了“1+2”,这一结果被称为“陈氏定理”,至今仍是最好的结果.陈景润的杰出成就使他得到广泛赞誉,不仅仅是因为“陈氏定理”使中国在哥德巴赫猜想的证明上处于领先地位,更重要的是以陈景润为代表的一大批中国数学家克服重重困难,不畏艰险,永攀高峰的精神将鼓舞和激励有志青年为使中国成为21世纪世界数学大国而奋斗!
电脑对数学的影响
电
脑
对
数
学
的
影
响
为了叙述方便起见,在这里我把电脑出现前的数学暂称为经典数学,电脑出现后的数学暂称为现代数学.
1.经典数学的研究内容与方法
(1)从书本论文到书本论文：一张纸、一支笔就可以研究数学.
(2)只做数量间的定性研究；
(3)少数人(数学家)从事的象牙塔式的研究学科；
(4)数学难题的解决程度成为衡量数学研究水平的重要方法；
(5)在数学刊物发表论文的多寡和水平成了唯一衡量标准；
(6)数学通过其它学科吸取“营养”,数学通过其它学科作用于生产,数学对生产的作用是间接的；
(7)数学是其他学科的基础.
2.现代数学的特征与内容
(1)通过电脑直接与生产发生关系；
·直接从生产中吸取“营养”
·直接作用于生产
·数学对生产的作用已超过其他任何一门学科
(3)数学与电脑密不可分；
·数学离不开电脑,没有电脑就没有现代数学
·电脑也离不开数学,没有数学也是不会有电脑
·数学将随着电脑的迅速发展而发展
·数学的发展又反作用于电脑,电脑的发展也离不开数学的发展
(3)软件是联系数学与电脑的唯一桥梁；
·没有软件就没有现代数学
·没有软件电脑只是一个废物
·电脑＝软件+硬件
(4)现代数学包括以下内容：
·数学模型的建立
·模型的数学分析,从数学的角度论证模型的正确性
·算法的选取
·算法的数学分析,从数学的角度论证模型的有效性
·软件的编制与调试
·软件运行的效果与数学分析(理论结果)的比较
(5)数学不仅是其他学科的基础
·数学(与电脑结合)已成为人类认识世界和改造世界的第三种手段,并突破了另外两种手段
——理论与实践的局限性
·数学与电脑结合就是生产力
(6)数学已不是少数人研究的学科；
·人人都要使用电脑,电脑又离不开数学；数学已经成为人人必须掌握的知识和工具
·人人都在使用数学,人人都可从事数学研究
·数学已大大超出了经典的推理数学范畴 (摘自数学教育论坛)
现代数学家
现
代
数
学
家
1.电脑的发明与发展大大缩短了科学与生产的距离,尤其大大缩短了数学与生产的距离.
(1)数学已彻底走出了“象牙塔”,已成为了产品或生产工具的一部分,甚至可能是最重要的那一部分；
(2)以数学为核心的
·数值模拟
·数值仿真
·数值试验
已成了现代科学试验与生产过程的重要组成部分
(3)最优设计是产品设计的最高水准
·数学是优化设计的灵魂
(4)数字化革命(信息革命)是工业化后的一场新的生产大革命,数学将成为这场革命的核心内容.
2.现代数学家与经典数学家不同,他们不能只懂得推理数学,他们应掌握以下几方面知识：
(1)他们不仅要精通一门数学分支,并且还需熟悉多门数学分支.
(2)除了数学之外,还要懂得其他专业学科,能与工程师以及其他学科的专家沟通.
(3)懂得如何建立正确的数学模型.
(4)懂得用电脑求解问题的计算方法.
(5)懂得把算法转换为软件.
(6)懂得对模型和算法做数学的推理与分析.
只有最后一项属于经典数学,其余五项都不是经典数学范围,但现代数学家必须具备的知识,因此现代数学家比经典数学家应具有广泛得多的知识.
3.现代数学家的使命
(1)经典数学家研究成果主要表现在数学论文,因此过去总以发表数学论文的多寡和水平的高低来衡量数学家的成绩.
(2)但对现代数学家来说,数学论文只是他们研究成果的一部分,往往并不是他们的主要成果.
(3)对于大多数的现代数学家来说,他们的主要精力应放在如何采用数学和电脑解决科学和生产的各种问题.
(4)现代科学和技术的发展离不开电脑的发展,也离不开现代数学的发展.掌握了电脑与数学的现代数学家是一支最重要和最基础的科学现代化队伍.
(5)我国要实现四个现代化,要赶超世界先进水平离不开这支现代化科学家队伍,支持基础学科应首先支持这支队伍的成长、发展和壮大.