已知A与B是集合{1,2,3,…,100}的两个子集,满足:A与B的元素个数相同,且为A∩B空集.若n∈A时总有2n+2∈B,则集合A∪B的元素个数最多为(  )A. 62B. 66C. 68D. 74

问题描述:

已知A与B是集合{1,2,3,…,100}的两个子集,满足:A与B的元素个数相同,且为A∩B空集.若n∈A时总有2n+2∈B,则集合A∪B的元素个数最多为(  )
A. 62
B. 66
C. 68
D. 74

令2n+2≤100,可得 n≤49,故A是{1,2,…,49}的一个非空子集,
再由A∩B=∅,先从A中去掉形如2n+2的数,n∈N+
由2n+2≤49,可得 n≤23,49-23=26,此时,A中有26个元素.
由于A中已经去掉了4,6,8,12,16,20,22 这7个数,而它们对应的形如2n+2的数分别为10,14,18,26,34,42,46,
并且10,14,18,26,34,42,46 对应的形如2n+2的数都在集合B中.
故A中还可有以下7个特殊元素:10,14,18,26,34,42,46,
故A中元素最多时,A *有33个元素,对应地B中也有33个元素.
故选B.
答案解析:令2n+2≤100,可得 n≤49,从A中去掉形如2n+2的数,此时A中有26个元素,注意A中还可含有以下7个特殊元素:10,14,18,26,34,42,46,故A中元素最多时,A *有33个元素,由此得出结论.
考试点:集合关系中的参数取值问题;交、并、补集的混合运算.


知识点:本题主要考查集合中参数的取值问题,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.