求集合M={1,2,3,...,100}的所有子集的元素之和的和已经基本知道解题思路,但不能理解每个元素出现的次数都是2^99,请问2^99是怎么来的?

M={m|1≤m≤100,且m为整数}.
如果你能知道M的所有子集的个数是2^100个,
结论一:M的所有子集的个数为2^100.
那么我们有理由相信所有子集中1出现的次数比15出现的次数不会多,也不会少.因为1和15作为集合中的元素没有什么本质的区别.
结论二:M的所有子集中任何一个m出现的次数是一样多的.
将M看作是全集,
将M的所有子集a构成的集合记作A,则A={a|a包含于M},
将a关于M的补集记作b,【例子:若a={1,3},则b={2,4,5,6,7,...99,100}】
将所有b构成的集合记作B,则B={b|b是M中所有元素剔除a中所有元素后剩下的元素},
很容易看到所有的b都是M的子集,且b的个数和a的个数相同,所以B也是M的所有子集构成的集合,即A=B.换句话说,A和B中集合是相同的.
结论三:M的子集a构成的集合和a的补集构成的集合是相同的.
设n为1到2^100中的任意一个数字,m为M中的任意一个元素,
m不在第n个a中出现,就必然在第n个b中出现.
那么第n个a中的元素与第n个b中的元素合在一起组成的集合必然为M.
让n从1取到2^100,则可以合出2^100个M.
于是M中的任何一个元素m必然要出现2^100次,
由结论三知,A=B,所以m在a中出现的次数和在b中出现的次数必然相等,
所以m在a中出现的次数必然是2^100/2=2^99次.
写完了发现结论二好像没有什么用处.

从M中任意取走0至99个元素，剩下的元素组成一个子集，
这样的子集个数就是取走方式的种类，
每个元素有2种可能，取或不取，如1有2种，2有2种，3有2种，……99有2种，100有2种，共2^100,
则子集有2^100个（含全被取走的空集1个）；
前面讲了每个元素有2种可能，取或不取，
即每个子集中的某个元素有2种可能，有或无，
则每个元素在子集中的机会是1/2，
所以每个元素出现的次数都是2^100/2=2^99，
总和=（1+2+……+100）*2^99=5050*2^99

这100个数,每个数在子集中都有存在和不存在两种情况,也就是2.所以,确定子集中有某个固定的元素之后,其他99个数每个数都有可能存在或者不存在这个子集里,也就是2^99种情况,也就是说这个元素会出现2^99次.