求解线性代数 关于特征值的一道题 设三阶矩阵A的特征值为2,4,4,则行列式|E-A^-1|=?设三阶矩阵A的特征值为2,4,4,则行列式|E-A^-1|=?
问题描述：
求解线性代数 关于特征值的一道题 设三阶矩阵A的特征值为2,4,4,则行列式|E-A^-1|=?
设三阶矩阵A的特征值为2,4,4,则行列式|E-A^-1|=?
答
主要利用以下结论:
1. 设x是A的特征值, 则1/x是A的逆的特征值;
2. 如果x是A的特征值, 对于多项式f(t)而言, f(x)是f(A)的特征值;
3. 如果x1,...,xn是A的n个特征值, 则|A|=x1*...*xn.
因为A的特征值为2,4,4, 所以A^{-1}的特征值为1/2,1/4,1/4.
从而E-A^{-1}的特征值为1-1/2,1-1/4,1-1/4,即是1/2,3/4,3/4.
进而|E-A^{-1}|=1/2*3/4*3/4=9/32.