这是一道关于高中数学的定积分题目汽车以速度v做匀速运动是,经过时间t所行驶的路程s=vt,如果汽车做变速直线运动,在时刻t的速度为v=2+t²,那么它在1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少?这是高二数学中曲边梯形面积的相关知识,希望给出确切答案.

用积分做 ，∵设y=t³/3+2t，那么y'=t²+2，则所求△S=y(2)-y(1)=13/3，高二的导数和计分内容可以这样解

s = ∫(a→b) v dt
= ∫(1→2) (2 + t²) dt
= 2t + t³/3 |(1→2)
= (4 + 8/3) - (2 + 1/3)
= 13/3 ≈ 4.333..

将区间[1,2]等分成n个小区间,第i个小区间为1＋i－1n,1＋in.
∴Δsi＝f1＋i－1n•1n.
sn＝i＝1nf1＋i－1n•1n
＝1ni＝1n 1＋i－1n2＋2
＝1ni＝1n (i－1)2n2＋2(i－1)n＋3
＝1n3n＋1n2[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋1n[0＋2＋4＋6＋…＋2(n－1)]
＝3＋(n－1)(2n－1)6n2＋n－1n.
s＝limn→∞sn＝limn→∞ 3＋(n－1)(2n－1)6n2＋n－1n＝13/3.
∴这段时间行驶的路程为13/3km.