设f(x)在[0,π]上连续,(0,π)内可导,证明存在ξ∈(0,π),使得f'(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0

问题描述:

设f(x)在[0,π]上连续,(0,π)内可导,证明存在ξ∈(0,π),使得f'(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0

设F(x)=f(x)sinx,则F(x)在[0,π]上连续,(0,π)内可导。F'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx
由拉格朗日定理:存在ξ∈(0,π),使得F'(ξ)=f'(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0

设g(x)=f(x)*sinx
g(x)在[0,π]上连续,(0,π)内可导
根据微分中值定理,存在ξ∈(0,π),
g'(ξ)=[g(π)-g(0)]/(π-0)=0
g'(ξ)=f'(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0