不等式题:设f(x)=根号下(1+x^2) (x1不等于x2) 试比较|F(x1)-F(x2)|与|x1-x2|的大小
问题描述：
不等式题:设f(x)=根号下(1+x^2) (x1不等于x2) 试比较|F(x1)-F(x2)|与|x1-x2|的大小
答
|F(x1)-F(x2)|
=|√(1+x1²)-√(1+x2²)|
=| [√(1+x1²)-√(1+x2²)]*[√(1+x1²)+√(1+x2²)]/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]|
=|(x1²-x2²)/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]|
=|x1-x2|*|x1+x2|/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]
因为√(1+x1²)>√(x1²)=|x1|，√(1+x2²)>√(x2²)=|x2|，所以
√(1+x1²)+√(1+x2²)>|x1|+|x2|≥|x1+x2|，即
√(1+x1²)+√(1+x2²)>|x1+x2|，所以
|x1+x2|/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]|F(x1)-F(x2)|/|x1-x2||F(x1)-F(x2)|
答
|F(x1)-F(x2)|
=|根号下(1+x1^2)-根号下(1+x2^2)|
=|(x1^2-x2^2)/(根号下(1+x1^2)+根号下(1+x2^2))|
=|(x1-x2)||（x1+x2)/(根号下(1+x1^2)+根号下(1+x2^2))|