ABCD中,AD平行于BC,角C为90度,BC等于16,DC等于12,AD等于21.在直角梯形ABCD中,AD平行于BC,角C为90度,BC=16,DC=12,AD=21.动点P从点D出发,沿着射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q从C点出发,在线段CB上以每秒1个单位的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒）.（1）当PQ与AB相交于点O,且BO=2AO时,求角BQP的正切值；当t为何值时,三角形BPQ为等腰三角形.

【05河北】如图，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；
（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
【解】（1）如图3，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。∴PM=DC=12
∵QB＝=6-t，∴S=(1/2)×12×(16-t)=96-t
（2）由图可知：CM=PD=2t，CQ=t。以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ。在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=(16-t)2，解得t=7/2；
②若BP=BQ。在Rt△PMB中，BP2=(16-t)2+122。由BP2＝BQ2得：
(16-2t)2+122=(16-t)2即3t2-32t+144=0。
由于Δ=-704③若PB=PQ。由PB2=PQ2，得t2+122=(16-2t)2+122
整理，得3t2-64t+256=0。解得t1=16/3,t2=16（不合题意，舍去）
综合上面的讨论可知：当t=7/2秒 或 t=16/3秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。
（3）如图4，由△OAP∽△OBQ，得AP/BQ=AO/OB=1/2
∵AP=2t-21，BQ=16-t，∴2(2t-21)=16-t。
∴t=58/5。
过点Q作QE⊥AD，垂足为E，
∵PD=2t，ED=QC=t，∴PE=t。
在RT△PEQ中，tan∠QPE=QE/PE=12/t=30/29
（4）设存在时刻t，使得PQ⊥BD。如图5，过点Q作QE⊥ADS，垂足为E。由Rt△BDC∽Rt△QPE，得
DC/BC=PE/EQ，即12/16=t/12。解得t=9
所以，当t=9秒时，PQ⊥BD。

【05河北】如图,在直角梯形ABCD中,AD‖BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21.动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时...