已知a,b,c都是整数,当代数式7a+2b+3c的值能被13整除时,那么代数式5a+7b-22c的值是否一定能被13整除,为什么?

问题描述:

已知a,b,c都是整数,当代数式7a+2b+3c的值能被13整除时,那么代数式5a+7b-22c的值是否一定能被13整除,为什么?

设x,y,z,t是整数,并且假设5a+7b-22c=x(7a+2b+3c)+13(ya+zb+tc)(1)比较上式a,b,c的系数,应当有7x+13y=52x+13z=7(2)3x+13t=-22,取x=-3,可以得到y=2,z=1,t=-1,则有13(2a+b-c)-3(7a+2b+3c)=5a+7...
答案解析:设x,y,z,t是整数,并且假设5a+7b-22c=x(7a+2b+3c)+13(ya+zb+tc),则有7x+13y=52x+13z=7,从而得出y=2,z=1,t=-1,则有13(2a+b-c)-3(7a+2b+3c)=5a+7b-22c,从而得出代数式5a+7b-22c的值能被13整除.
例如:取x=10,则有y=-5,z=-1,t=-4,
则有5a+7b-22c=10(7a+2b+3c)-13(5a+b+4c)
实际上,(2)是一组二元整系数不定方程,
我们先解第一个,得到x=-3+13k,y=2-7k,这里k是任意整数,
将x=-3+13k代入其余方程,解得z=1-2k,t=-1-3k,
这里k是任意整数,
则可以有5a+7b-22c=(-3+13k)(7a+2b+3c)+13[(2-7k)a+(1-2k)b+(-1-3k)c].
考试点:数的整除性.


知识点:本题考查了数的整除性问题,特殊值法是常用的方法.