设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A,椭圆C上两点P,Q在X轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2,直线PQ的斜率为32,过点A且与AF1垂直的直线与X轴交于点B,△AF1B的外接圆为圆M.(1)求椭圆的离心率;(2)直线3x+4y+14a2=0与圆M相交于E,F两点,且.ME•.MF=-12 a2,求椭圆方程.

问题描述:

设椭圆C:

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的上顶点为A,椭圆C上两点P,Q在X轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2,直线PQ的斜率为
3
2
,过点A且与AF1垂直的直线与X轴交于点B,△AF1B的外接圆为圆M.
(1)求椭圆的离心率;
(2)直线3x+4y+
1
4
a2=0与圆M相交于E,F两点,且
.
ME
.
MF
=-
1
2
 
a2,求椭圆方程.

(1)由题意,不妨设P(-c,-

b2
a
),Q(c,
b2
a
),则直线PQ的斜率为
b2
a
c
=
3
2

a2c2
ac
3
2
,∴2e2+3e-2=0,
∵0<e<1,∴e=
1
2

(2)∵e=
1
2
,∴∠AF1B=60•,a=2c
∵|AF1|=a,∴|BF1|=2a,即圆M的直径为2a,B(3c,0),圆心坐标为(c,0)
.
ME
.
MF
=-
1
2
 
a2
.
ME
2
cos∠EMF
=-
1
2
 
a2
∴cos∠EMF=-
1
2

∴∠EMF=120°
∴M到直线3x+4y+
1
4
a2=0的距离为
1
2
a

|3c+
1
4
a2|
5
=
1
2
a

∵a=2c,∴c=2,a=4
∴b2=a2-c2=12
∴椭圆方程为
x2
16
+
y2
12
=1

答案解析:(1)设出P、Q的坐标,利用直线PQ的斜率为
3
2
,建立方程,即可求得椭圆的离心率;
(2)先确定圆心坐标与半径,再利用
.
ME
.
MF
=-
1
2
 
a2,可得M到直线3x+4y+
1
4
a2=0的距离为
1
2
a
,利用点到直线的距离公式,即可求得椭圆的标准方程.
考试点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质.
知识点:本题考查椭圆的标准方程与性质,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,解题的关键是确定圆的圆心与半径,属于中档题.