设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A,椭圆C上两点P,Q在X轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2,直线PQ的斜率为32,过点A且与AF1垂直的直线与X轴交于点B,△AF1B的外接圆为圆M.(1)求椭圆的离心率;(2)直线3x+4y+14a2=0与圆M相交于E,F两点,且.ME•.MF=-12 a2,求椭圆方程.
设椭圆C:
+x2 a2
=1(a>b>0)的上顶点为A,椭圆C上两点P,Q在X轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2,直线PQ的斜率为y2 b2
,过点A且与AF1垂直的直线与X轴交于点B,△AF1B的外接圆为圆M.3 2
(1)求椭圆的离心率;
(2)直线3x+4y+
a2=0与圆M相交于E,F两点,且1 4
•ME
=-MF
a2,求椭圆方程. 1 2
(1)由题意,不妨设P(-c,-
),Q(c,b2 a
),则直线PQ的斜率为b2 a
=
b2 a c
3 2
∴
=
a2−c2
ac
,∴2e2+3e-2=0,3 2
∵0<e<1,∴e=
;1 2
(2)∵e=
,∴∠AF1B=60•,a=2c1 2
∵|AF1|=a,∴|BF1|=2a,即圆M的直径为2a,B(3c,0),圆心坐标为(c,0)
∵
•ME
=-MF
a2,1 2
∴
2cos∠EMF=-ME
a2,1 2
∴cos∠EMF=-
1 2
∴∠EMF=120°
∴M到直线3x+4y+
a2=0的距离为1 4
a1 2
∴
=|3c+
a2|1 4 5
a1 2
∵a=2c,∴c=2,a=4
∴b2=a2-c2=12
∴椭圆方程为
+x2 16
=1.y2 12
答案解析:(1)设出P、Q的坐标,利用直线PQ的斜率为
,建立方程,即可求得椭圆的离心率;3 2
(2)先确定圆心坐标与半径,再利用
•ME
=-MF
a2,可得M到直线3x+4y+1 2
a2=0的距离为1 4
a,利用点到直线的距离公式,即可求得椭圆的标准方程.1 2
考试点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质.
知识点:本题考查椭圆的标准方程与性质,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,解题的关键是确定圆的圆心与半径,属于中档题.