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已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，有Sn，a2(a-1)an，n（a≠0，a≠1）成等差数列，令bn=（an+1）lg（an+1）．（1）求数列{an}的通项公式an（用a，n表示）（2）当a=89时，数列{bn}是否存在最小项，若有，请求出第几项最小；若无，请说明理由；（3）若{bn}是一个单调递增数列，请求出a的取值范围．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 23:39:45
问题描述：

已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，有Sn，

a
2(a-1)
an，n（a≠0，a≠1）成等差数列，令bn=（an+1）lg（an+1）．
（1）求数列{an}的通项公式an（用a，n表示）
（2）当a=
8
9
时，数列{bn}是否存在最小项，若有，请求出第几项最小；若无，请说明理由；
（3）若{bn}是一个单调递增数列，请求出a的取值范围．

答

（1）由题意

a
a-1
an=Sn+n①
∴
a
a-1
an+1=Sn+1+n+1②
②-①得
1
a-1
an+1=
a
a-1
an+1，
即an+1+1=a（an+1），{an+1}是以a为公比的等比数列．∴an+1=（a1+1）an-1
又由
a
a-1
a1=a1+1⇒a1=a-1∴an=an-1
（2）a=
8
9
时，bn=n(
8
9
)nlg
8
9
，bn+1-bn=
8-n
9
•(
8
9
)n•lg
8
9

当n＜8时，bn+1-bn＜0即bn+1＜bn，∴b1＞b2＞＞b8
当n=8时，bn+1-bn=0即bn+1=b&n，b8=b9
当n＞8时，bn+1-bn＞0即bn+1＞bn∴b9＜b10＜
存在最小项且第8项和第9项最小
（3）由bn+1＞bn得bn+1-bn=（n+1）an+1lga-nanlga=an[（n+1）a-n]lga＞0
当a＞1时，得（n+1）a-n＞0，即a＞
n
n+1
，显然恒成立，∴a＞1
当0＜a＜1时，lga＜0，∴（n+1）a-n＜0即a＜
n
n+1
，∴a＜
1
2
，∴0＜a＜
1
2

综上，a的取值范围为(0，
1
2
)∪(1，+∞)．
答案解析：（1）由题设知
a
a-1
an+1=Sn+1+n+1，an+1+1=a（an+1），再由{an+1}是以a为公比的等比数列．知an+1=（a1+1）an-1
又由
a
a-1
a1=a1+1⇒a1=a-1，由此知an=an-1．
（2）a=
8
9
时，bn=n(
8
9
)nlg
8
9
，bn+1-bn=
8-n
9
•(
8
9
)n•lg
8
9
，
再经过分类讨论可知存在最小项且第8项和第9项最小．
（3）由bn+1＞bn得bn+1-bn=（n+1）an+1lga-nanlga=an[（n+1）a-n]lga＞0，由此入手能够得到a的取值范围．
考试点：数列的应用；数列的求和．

知识点：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，合理解答，注意公式的灵活运用．

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