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已知△ABC中，sinA(sinB+3cosB)=3sinC． （I）求角A的大小； （II）若BC=3，求△ABC周长的取值范围．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 23:29:32
问题描述：

已知△ABC中，sinA(sinB+

3
cosB)=
3
sinC．
（I）求角A的大小；
（II）若BC=3，求△ABC周长的取值范围．

答

（I）A+B+C=π
得sinC=sin（A+B）代入已知条件得sinAsinB=

3
cosAsinB
∵sinB≠0，由此得tanA=
3
，A=
π
3

（II）由上可知：B+C=
2π
3
，∴C=
2π
3
-B
由正弦定理得：AB+AC=2R(sinB+sinC)=2
3
(sinB+sin(
2π
3
-B))
即得：AB+AC=2
3
(
3
2
sinB+
3
2
cosB)=6sin(B+
π
6
)
∵0＜B＜
2π
3
得
1
2
＜sin(B+
π
6
)≤1
∴3＜AB+AC≤6，
∴△ABC周长的取值范围为（6，9]

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