二次型正定的一个充要条件是「存在可逆矩阵M,使A=M^TM」.为什么?
问题描述：
二次型正定的一个充要条件是「存在可逆矩阵M,使A=M^TM」.为什么?
答
A=M^TM是什么东西?
A是正定矩阵当且仅当存在可逆矩阵M使得A=M^(-1)TM,其中T是对角矩阵,且对角线元素都是正数M^T是M的转置矩阵的意思接着上面的回答了右推左对任意的xx'M^TMx=(Mx)'(Mx)大于等于0，等号当且仅当Mx=0即x=0时成立左推右由于A正定，存在可逆矩阵K是的A=K^T*C*K，其中C是对角矩阵，对角线上的元素都大于0让C1也为对角矩阵，并且对角线上的对应元素是C对应位置的1/2次让M=C1*K,那么A=K^T*C*K=K^T*C1*C1*K=M^T*M接着上面的回答了右推左对任意的xx'M^TMx=(Mx)'(Mx)大于等于0，等号当且仅当Mx=0即x=0时成立左推右由于A正定，存在可逆矩阵K是的A=K^T*C*K，其中C是对角矩阵，对角线上的元素都大于0让C1也为对角矩阵，并且对角线上的对应元素是C对应位置的1/2次让M=C1*K,那么A=K^T*C*K=K^T*C1*C1*K=M^T*M