是否存在a∈(0,π),β∈(-π,0),使等式sin(3π-α)=(根号2)cos(π/2- β),根号3cos(-α)=-根号2cos(π+是否存在a∈(0,π),β∈(-π,0),使等式sin(3π-α)=(根号2)cos(π/2-β),根号3cos(-α)=-根号2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值,若不存在,请说明理由
问题描述：
是否存在a∈(0,π),β∈(-π,0),使等式sin(3π-α)=(根号2)cos(π/2- β),根号3cos(-α)=-根号2cos(π+
是否存在a∈(0,π),β∈(-π,0),使等式sin(3π-α)=(根号2)cos(π/2-β),根号3cos(-α)=-根号2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值,若不存在,请说明理由
答
sin(3π-α)= sin(π-α)=sin α
√2 cos(π/2 - β)=√2 sin β
√3 cos(-α)=√3 cos α
-√2cos(π+β)=√2cos β
所以cos α= √(2/3) cos β
sin α=√2 sin β
cos α= √(2/3) cos β
两式子平方相加：
1=2 sin^2 β + 2/3 cos^2 β
1/3 = 4/3 sin^2 β
sin^2 β = 1/4
因为β∈(-π,0)
所以sin β= - 1/2
β=-π/6 或 -5π/6
又因为sin α=√2 sin β
所以sin α= - √2 / 2
但α∈(0,π),sin α应该恒大于0
所以α不存在,
所以不存在α,β,使两条件同时成立.