高数,关于等价无穷小

两个问题实际上是同一个问题.想等价替换,必须满足条件：
是以因子形式出项的量,注意,是相对整个表达式是以因子形式出现的,
而不是单独的一部分是因子形式的.
比如第一题,1－cosx在第一部分中是因子,但相对整个表达式不是因子,
因此不能等价替换.当然,如果写成
lim 1/(1－cosx)+lim 1/tanx,1－cosx是以因子出现的,可以替换.
当然,这样做是不对的,原因是不能写成上面这种形式.
正确做法是先通分,再用洛必达法则或Taylor展式.
第二题类似,(1+1/x)^x相对整个表达式不是因子,因此不能等价替换.
正确做法是：先取对数,然后用洛必达法则或Taylor展式,建议用
Taylor展式.取对数后,
lim x*(1－xln(1+1/x))
＝lim x*(1－x【1/x－1/(2x^2)+小o(1/x^2)】)
＝lim x*(1/2x+小o(1/x))
＝1/2,
因此原极限是e^(1/2).我还有两个疑问哦~ 1.lim 1/(1－cosx)+lim 1/tanx，1－cosx是以因子出现的，可以替换。当然，这样做是不对的，原因是不能写成上面这种形式。请问为什么不能写成这种形式呢？limf（x）+g（x）不是等于lim f（x）+ lim g（x）吗？ 2.第二题中的并非是等价无穷小替换，而是两个重要极限之一lim（x趋近无穷大）(1+1/x)^x=e，这也不行吗？ 谢谢你~1、lim f(x)+g(x)=lim f(x)+lim g(x)有前提，条件是lim f(x)和lim g(x)都存在才行。本题不满足。2、不行。只要不是因子的就不行。