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设x∈[2，8]时，函数f（x）=1/2loga（ax）•loga（a2x）（a＞0，且a≠1）的最大值是1，最小值是-1/8，求a的值．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 21:57:00
问题描述：

设x∈[2，8]时，函数f（x）=

1
2
loga（ax）•loga（a2x）（a＞0，且a≠1）的最大值是1，最小值是-
1
8
，求a的值．

答

f（x）=

1
2
loga（ax）•loga（a2x）
=
1
2
（1+logax）•（2+logax）
=
1
2
(logax)2+
3
2
logax+1
=
1
2
（logax+
3
2
）2-
1
8
．
设t=logax，则f（x）=
1
2
（t+
3
2
）2-
1
8
，
∵x∈[2，8]，函数f（x）的最大值是1，最小值是-
1
8
，
∴loga8≤logax≤loga2＜0，0＜a＜1，loga8≤t≤loga2，
∴当x=8时，f（x）取最大值f（8）=
1
2
（loga8+
3
2
）2-
1
8
=1，
解得loga8=-3或loga8=0（舍），
∴a=
1
2
．

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