已知函数f（x）=sin2（x2+π12）+3sin（x2+π12）cos（x2+π12）-12．（Ⅰ）求f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）（x＞0）的图象与直线y=12交点的横坐标由小到大依次是x1，x2…，xn，求数列{xn}的前2n项的和．
问题描述：
已知函数f（x）=sin2（
+x 2
）+π 12
sin（
3
+x 2
）cos（π 12
+x 2
）-π 12
．1 2
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）（x＞0）的图象与直线y=
交点的横坐标由小到大依次是x1，x2…，xn，求数列{xn}的前2n项的和． 1 2
答
（Ⅰ）f(x)＝1−cos(x+π6)2+32sin(x+π6)−12=32sin(x+π6)−12cos(x+π6)=sinx所以f（x）的值域为[-1，1]（Ⅱ）由正弦曲线的对称性、周期性可知x1+x22＝π2，x3+x42＝2π+π2，x2n−1+x2n2＝2(n−1)π+π2∴x1+x2+...
答案解析：（I）利用辅助角公式对函数化简可得f（x）=sinx，结合正弦函数的性质可求．
（II）由正弦曲线的对称性、周期性可知
＝
x1+x2
2
，π 2
＝2π+
x3+x4
2
，π 2
＝2(n−1)π+
x2n−1+x2n
2
，代入等差数列的前n项和公式可求．π 2
考试点：正弦函数的定义域和值域；数列与三角函数的综合．
知识点：本题主要考查了辅助角公式的应用，正弦函数的值域的求解，正弦函数的对称性及周期性的应用，还考查了数列的求和公式的运用．