已知,△ABC中,∠BAC=45°,以AB边为边以点B为直角顶点在△ABC外部作等腰直角三角形ABD,以AC边为斜边在△ABC外部作等腰直角三角形ACE,连接BE、DC,两条线段相交于F,试求∠EFC的度数.

问题描述:

已知,△ABC中,∠BAC=45°,以AB边为边以点B为直角顶点在△ABC外部作等腰直角三角形ABD,以AC边为斜边在△ABC外部作等腰直角三角形ACE,连接BE、DC,两条线段相交于F,试求∠EFC的度数.

作DH∥BE交EA延长线于H,连接CH,
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形,∠BAC=45°,
∴∠BDA+∠DAE=180°,
∴四边形BEHD为平行四边形,
在△CEH和△EAB中,

CE=AE
∠CEH=∠EAB
HE=AB

∴△CEH≌△EAB,
∴CH=BE=DH,∠CHE=∠ABE,
∵∠ABE+∠AEB=∠BAE=90°,
∴∠CHE+∠BEH=90°,
∴∠CHD=90°,
∴∠EFC=∠CDH=45°.