函数f（x）=x3-（a+1）x+a，g（x）=xlnx． （Ⅰ）若y=f（x），y=g（x）在x=1处的切线相互垂直，求这两个切线方程． （Ⅱ）若F（x）=f（x）-g（x）单调递增，求a的范围．
问题描述：
函数f（x）=x3-（a+1）x+a，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）若y=f（x），y=g（x）在x=1处的切线相互垂直，求这两个切线方程．
（Ⅱ）若F（x）=f（x）-g（x）单调递增，求a的范围．
答
（I）f'（x）=3x2-（a+1），g'（x）=lnx+1
∴f'（1）=2-a g'（1）=1
∵两曲线在x=1处的切线互相垂直
∴（2-a）×1=-1
∴a=3
∴f'（1）=-1 f（1）=0
∴y=f（x）在x=1处的切线方程为x+y-1=0，
同理，y=g（x）在x=1处的切线方程为x-y-1=0（6分）
（II）由F（x）=x3-（a+1）x+a-xlnx
得F'（x）=3x2-（a+1）-lnx-1=3x2-lnx-a-2（8分）
∵F（x）=f（x）-g（x）单调递增
∴F'（x）≥0恒成立
即a≤3x2-lnx-2（10分）
令h（x）=3x2-lnx-2
h′(x)＝6x−
(x＞0)1 x
令h'（x）＞0得x＞
，
6
6
令h'（x）＜0得0＜x＜
6
6
∴h(x)min＝h(
)＝−
6
6
+3 2
ln61 2
∴a的范围为(−∞ ， （13分）