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已知函数f（x）=x2-lnx． （1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求函数f（x）的单调递减区间： （3）设函数g（x）=f（x）-x2+ax，a＞0，若x∈（O，e]时，g（x）的最小值是3，

分类: 作业答案 • 2021-12-19 20:38:52
问题描述：

已知函数f（x）=x2-lnx．
（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调递减区间：
（3）设函数g（x）=f（x）-x2+ax，a＞0，若x∈（O，e]时，g（x）的最小值是3，求实数a的值．（e为自然对数的底数）

答

（1）∵f（x）=x2-lnx
∴f′（x）=2x-

1
x
．
∴f'（1）=1．
又∵f（1）=1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=x-1．即x-y=0．
（2）因为函数f（x）=2x2-lnx的定义域为（0，+∞），
由f′（x）=2x-
1
x
＜0，得0＜x＜
2
2
．
所以函数f（x）=x2-lnx的单调递减区间是（0，
2
2
）．
（3）∵g（x）=ax-lnx，∴g′（x）=
ax−1
x
，令g′（x）=0，得x=
1
a
，
①当
1
a
≥e时，即0＜a≤
1
e
时，g′（x）=
ax−1
x
≤0在（0，e]上恒成立，
则g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=3，a=
4
e
（舍去），
②当0＜
1
a
＜e时，即a＞
1
e
时，列表如下：

由表知，g（x）min=g（
1
a
）=1+lna=3，a=e2，满足条件．
综上，所求实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．

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