已知函数fx=|x^2+3x|,x属于R,若方程fx-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根.则实数a的取值范围为what?
问题描述：
已知函数fx=|x^2+3x|,x属于R,若方程fx-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根.则实数a的取值范围为what?
答
由于f(x)≥0，故f(x)若与g(x)有交点，则a＞0
要使原方程有4个相异实数根，则
⑴当－3＜x＜0时，y＝－ax＋a与y＝－x^2－3x有两个交点
两个函数联立得一个方程组，消去y得：x^2－(a－3)x＋a＝0
令△＝[－(a－3)]^2－4a＞0，解得：a＜1或a＞9
其中a＞9时，y＝－ax＋a与y＝－x^2－3x在－3＜x＜0内没有公共点，故舍去
⑵当x≤－3或0≤x≤1时，y＝－ax＋a与y＝x^2＋3x有两个交点
两个函数联立得一个方程组，消去y得：x^2＋(a＋3)x－a＝0
令△＝(a＋3)^2＋4a＞0，解得：a＜－9或a＞－1
显然，a＞0时，f(x)与g(x)在x≤－3或0≤x≤1时有两个交点
因此，当0＜a＜1时，原方程恰有4个相异实数根
实际上相当于函数f(x)＝|x^2＋3x|与函数g(x)＝a|x－1|恰有4个交点时实数a的取值范围
如下图所示：
当0＜a＜1时,两个函数有四个交点,即原方程恰有4个相异实数根
由于f(x)≥0，故f(x)若与g(x)有交点，则a＞0
要使原方程有4个相异实数根，则
⑴当－3＜x＜0时，y＝－ax＋a与y＝－x^2－3x有两个交点
两个函数联立得一个方程组，消去y得：x^2－(a－3)x＋a＝0
令△＝[－(a－3)]^2－4a＞0，解得：a＜1或a＞9
其中a＞9时，y＝－ax＋a与y＝－x^2－3x在－3＜x＜0内没有公共点，故舍去
⑵当x≤－3或0≤x≤1时，y＝－ax＋a与y＝x^2＋3x有两个交点
两个函数联立得一个方程组，消去y得：x^2＋(a＋3)x－a＝0
令△＝(a＋3)^2＋4a＞0，解得：a＜－9或a＞－1
显然，a＞0时，f(x)与g(x)在x≤－3或0≤x≤1时有两个交点
因此，当0＜a＜1时，原方程恰有4个相异实数根