(2011•武汉模拟)设f(x)=sinπx是[0,1]上的函数,且定义f1(x)=f(x),…,fn(x)=f(fn-1(x)),n∈N*,则满足fn(x)=x,x∈[0,1]的x的个数是( ) A.2n B.2(2n-1) C.2n2
问题描述:
(2011•武汉模拟)设f(x)=sinπx是[0,1]上的函数,且定义f1(x)=f(x),…,fn(x)=f(fn-1(x)),n∈N*,则满足fn(x)=x,x∈[0,1]的x的个数是( )
A. 2n
B. 2(2n-1)
C. 2n2
D. 2n
答
显然,y=f1(x)与y=x的图象有2=21个交点.
接下来考虑f2(x),在x属于[0,
]时,f1(x)从0单调上升到1,于是f2(x)从0上升到1再下降到0;1 2
当x属于[
,1]时,又是这样一个周期.你近似画出它的图象(只要增减性画对)就知道它会上升到1,下降到0,再上升到1,再下降到0,这样和y=x有4=22个交点.1 2
接下来,你再看f3(x),就会发现周期又缩短了一半.它有4次上升下降,与直线y=x有8=23个交点.
归纳可以得出结论:fn(x)=x,x∈[0,1]的x的个数是:2n.
故选D.