椭圆x23+y22=1内有一点P(1,1),一直线过点P与椭圆相交于P1、P2两点,弦P1P2被点P平分,求直线P1P2的方程.

问题描述:

椭圆

x2
3
+
y2
2
=1内有一点P(1,1),一直线过点P与椭圆相交于P1、P2两点,弦P1P2被点P平分,求直线P1P2的方程.

设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则

x12
3
+
y12
2
=1,
x22
3
+
y22
2
=1

两式相减得
(x1+x2)(x1x2)
3
+
(y1+y2)(y1y2)
2
=0

∵弦P1P2被点P平分,∴x1+x2=2,y1+y2=2
代入上式得
y1y2
x1x2
=-
2
3
,即直线P1P2的斜率为
2
3

∴直线P1P2的方程为 y-1=
2
3
(x-1),即2x+3y-5=0.