.证明(Cn0)^2+(Cn1)^2+(Cn2)^2+……+(Cnn)^2=(2n)!/n!^2
.证明(Cn0)^2+(Cn1)^2+(Cn2)^2+……+(Cnn)^2=(2n)!/n!^2
∵(1+x)n(1+x)n＝(1+x)2n,比较两边xn的系数.
左边展开式中x^n的系数为：Cn0Cnn+Cn1Cnn-1+Cn2Cnn-2+…+CnnCn0
＝(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(Cnn)2
右边展开式中x^2n的系数为：C2n n
从而：(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(Cnn)2＝C2n2=(2n)!/n!^2
这个解答我看不懂,为什么要比较X^n的二次项系数呢?
我这样想的：
因为
(1+x)n的二次项系数的和 Cn0+Cn1+...+CnN=2^n
那么
Cn0CnN+Cn1CnN-1+Cn2CnN-2+…+CnNCn0＝(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(CnN)2=2^2n
怎么可以等于x^n项的系数C2nN呢?
而且x^n项的系数是Cn0CnN,Cn1CnN-1,Cn2CnN-2,…,CnNCn0其中的一个.怎么可以等于它们的和呢?
这个解答在最关键的地方有一处错误,所以很难理解,正确解答应为：
∵(1+x)n(1+x)n＝(1+x)2n,比较两边x^n的系数.
左边展开式中x^n的系数为：
Cn0CnN+Cn1CnN-1+Cn2CnN-2+…+CnNCn0＝(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(CnN)2
右边展开式中x^n的系数为：C2nN
－（此处应为x^n而非原来的x^2n）
从而：(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(CnN)2＝C2nN=(2n)!/n!^2
这个题的解题思路是先将左边两个n次因子分别计算出来（其实两个n次因子是一样的,都是（1+x)＾n）,再将两个n次n+1项多项式相乘,其中能产生x^n的项共有n+1项,它们的系数之和即为：
Cn0CnN+Cn1CnN-1+Cn2CnN-2+…+CnNCn0＝(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(CnN)2
而右边x^n项的系数直接按多项式高次展开式公式进行计算,即为：C2nN
两边是相等的,所以它们的对应项也应该是相等的,则对应项的系数也是相等的,上面的x^n项的系数也应该是相等的,所以：
Cn0CnN+Cn1CnN-1+Cn2CnN-2+…+CnNCn0＝(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(CnN)2
＝C2nN
＝（2n)!/n!^2
即
(Cn0)^2+(Cn1)^2+(Cn2)^2+……+(Cnn)^2=(2n)!/n!^2