设an=logn+1(n+2),(n∈N*),定义使a1a2a3…ak为整数的数k(k∈N*)叫做数列{an}的企盼数,则区间[1,2009]内的所有企盼数的和为_.
问题描述:
设an=logn+1(n+2),(n∈N*),定义使a1a2a3…ak为整数的数k(k∈N*)叫做数列{an}的企盼数,则区间[1,2009]内的所有企盼数的和为______.
答
∵an=logn+1(n+2)=
log2(n+2) log2(n+1)
∴a1•a2•a3…ak=
×log23 log22
…×log24 log23
=log2(k+2),log2(k+2) log2(k+1)
又∵a1•a2•a3…ak为整数
∴k+2必须是2的n次幂(n∈N*),即k=2n-2.
∴k∈[1,2009]内所有的企盼数的和M=(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+(210-2)=
−2×9=20264(1−29) 1−2
故答案为:2026.