设an=logn+1(n+2),(n∈N*),定义使a1a2a3…ak为整数的数k(k∈N*)叫做数列{an}的企盼数,则区间[1,2009]内的所有企盼数的和为_.

问题描述:

an=logn+1(n+2),(n∈N*),定义使a1a2a3…ak为整数的数k(k∈N*)叫做数列{an}的企盼数,则区间[1,2009]内的所有企盼数的和为______.

∵an=logn+1(n+2)=

log2(n+2)
log2(n+1)

∴a1•a2•a3…ak=
log23
log22
×
log24
log23
…×
log2(k+2)
log2(k+1)
=log2(k+2),
又∵a1•a2•a3…ak为整数
∴k+2必须是2的n次幂(n∈N*),即k=2n-2.
∴k∈[1,2009]内所有的企盼数的和M=(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+(210-2)=
4(1−29)
1−2
−2×9
=2026
故答案为:2026.