g(x)在[a,b]连续 f(x)在(a,b)二阶可导 且满足f''(x)+g(x)f'(x)-f(x)=0 x∈[a,b] f(a)=f(b)=0 证明:f(x)=0
问题描述：
g(x)在[a,b]连续 f(x)在(a,b)二阶可导 且满足f''(x)+g(x)f'(x)-f(x)=0 x∈[a,b] f(a)=f(b)=0 证明:f(x)=0
反证法
证明：
若f(x)在[a,b]上不恒为0
则f(x)在[a,b]上取得正的最大值或负的最小值
不妨设f(x0)=maxf(x)>0,x∈[a,b]
则x0∈(a,b),f'(x0)=0,f"(x0)≤0
那么f''(x0)+g(x0)f'(x0)-f(x0)这与已知矛盾
同理,若f(x1)=minf(x)则同样可得矛盾
因此,f(x)=0,对任意x∈[a,b]均成立.
以上是全书上的证明,我的疑问是：
若f(x)在[a,b]上不恒为0
则f(x)在[a,b]上取得正的最大值或负的最小值
上面的条件只能推出f(x)在开区间连续,不是闭区间 怎么还能推出他一定有最值呢?还有可能取不到最值呢
答
题目的条件是有点问题,从“f''(x)+g(x)f'(x)-f(x)=0,x∈[a,b]”来看,题目的第二个条件应该是：f(x)在[a.b]上二阶可导